4.4 Radio de convergencia En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n, con a_n,x,x_0\in\mathbb{R}, viene dado por la expresión: R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |} DEFINICION Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n, con a_n,x,x_0\in\mathbb{R}, recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x0 | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r = \infty \,\!