4.6 Representación de funciones por serie de Taylor En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma: sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13. La función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo). f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a. Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin. Esta representación tiene tres ventajas importantes: La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales. Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función. Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible. Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(-1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

4.5 serie de Taylor SERIE DE TAYLOR ¿Qué es? La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función. ¿Para que sirve? La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación. Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc... Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie. Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por: La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden. Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.

4.4 Radio de convergencia En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n, con a_n,x,x_0\in\mathbb{R}, viene dado por la expresión: R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |} DEFINICION Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n, con a_n,x,x_0\in\mathbb{R}, recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x0 | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r = \infty \,\!

4.3 Serie de potencias Serie de potencias Es una serie de ecuaciones que tiene la forma a0 + a1 (x-a) + a2 (a-x)^2 + ……… an (x-a)^n + ………. A esto se le llama serie de potencias, aquí las constantes a0, a1…….., an……., se llaman también los coeficientes de la serie. Esta serie está dispuesta según las potencias crecientes del binomio x-a. Cuando a=0, tenemos una serie de potencias de x que es un caso particular de la serie. Para determinar el dominio de convergencia de la serie sustituimos en esta ecuación la variable x – a =X Después de la sustitución la ecuación toma el siguiente aspecto: a0 + a1X + a2X^2 +………+ anX^n +……., Es decir hemos obtenido la serie de potencias de X.

4.2 Serie numérica y convergencia SERIES NUMERICAS. 1. Convergencia. Si {an} es una sucesi´on de numeros reales, se define la serie de termino general an y se escribe P1 n=1 an como: 1X n=1 an = lim (a1 + · · · + an). Si este l´ımite de la n-´esima suma parcial a1 + · · · + an es finito, se dice que la serie es convergente; si es infinito o no existe, que es divergente. 2. Convergencia absoluta. Se dice que la serie P an es absolutamente convergente si la serie P |an| es convergente. Toda serie absolutamente convergente es convergente. Si una serie es absolutamente convergente, entonces cualquier reordenaci´on suya tambi ´en lo es y tiene el mismo valor. Se dice que una serie es condicionalmente convergente si es convergente, pero no absolutamente convergente. 3. Propiedades. • El car´acter (convergente o divergente) de una serie no cambia si se modifica un n´umero finito de sus terminos. • Para que la serie P an converja es necesario que lim an = 0. • Si las series Pan y Pbn convergen, entonces: Pan + bn y P_an, con _ 2 R, tambien, teniendose: X (an + bn) Xan +Xbn yX_an = _Xan.

4.1.2 Infinita Definiendo con n a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos L al límite para n tendiendo a infinito de se obtiene un número L, con los siguientes Si converge. Si diverge. Si L = 1, el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo. El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera: Sea: Tal que: f(n) > 0 (o sea una sucesión de terminos positivos) y f(n) tienda a cero cuando n tiende a infinito (condición necesaria de convergencia) Se procede de la siguiente manera: con n tendiendo a infinito. Así obtenemos L y se clasifica de la siguiente manera: L < 1 la serie converge L > 1 la serie diverge L = 1 el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio. Acontinuacion se muestra un breve Ejemplo:

4.1.1 Finitas Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución deecuaciones diferenciales. La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula \Delta = hD + \frac12 h^2D^2 + \frac1{3!} h^3D^3 + \cdots = \mathrm{e}^{hD} - 1, Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder f\, con su derivada f\,', es decir, D = u'\,, D^2 = u''\,, D^3 = u'''\,,...